Pratik, Akıldan Çarpma Yöntemi

Matematik denince genelde ikiye ayrılırız. Kimimiz çok sevdiği, keyifle vakit ayırdığı bir arkadaşını yeniden görmüşçesine sevinirken kimimiz de konuşmaktan hiç hazzetmediği bir akrabasıyla karşılaşmış gibi hisseder. İşte bu yazı her iki gruba da yardım edebilecek türde. Daha önce spymastersnake için yazdığım dokümanı biraz daha farklı olarak yeniden yazıyorum.

Sanırım bi’ 10 yıl kadar önce televizyonlarda bolca görüyorduk, hesap makinesi gibi çarpım yapan adamlar birbirleriyle yarışıyordu. Merakla izlerdik, gerçek mi değil mi diye. Rating vermediğinden olsa gerek kısa sürede kayboldular, çabuk tükettik. Sonra da bu “süper beyin” diye lanse edilen amcaların hiçbirinin herhangi bir icat yaptığını ben hatırlamıyorum. Meğer adamların beyni bizimkiyle aynıymış ama onların farkları işin kısayolunu biliyor olmalarıymış. Bu konuda Melik Duyar’ın verdiği bir örnek:
Normal birinin akıldan hesaplar yapmasını kol gücüyle bir tarla sürmesine benzetirsek, eğitim almış bir kişinin aynı işi traktör kullanarak yaptığını söyleyebiliriz. Yani daha kısa sürede daha az yorularak bu tür işlemleri yapmak mümkün.

Bu başlıkta çarpma konusunda bildiklerimi anlatacağım. Tek basamaklı sayılarla başlıyoruz. Daha sonra aynı stratejiyi daha büyük sayıların çarpımlarında da kullanacağız.
Örneğimiz 7 x 8 olsun. İki rakamın da altında birer daire çizelim.

Ardından bu boşluklara, rakamların 10 ile farklarını yazalım. 10-7=3 ve 10-8=2

 

Neden 10 diye soranlar için hemen söyleyeyim. 10 bu rakamlara yakın olan en küçük sayı. 100 de alabilirdik ancak bu işi yokuşa sürmek olur. 10 bu işlem için belirlediğimiz referans numaramız. Benim anlattığım bu yöntemde 10, 100 ve 1000 gibi sayıları referans alıyoruz.

Bundan sonrasında çapraz bir çıkarma işlemi yapıyoruz. Yani 7-2 veya 8-3. İkisi de aynı sonucu verecektir. O da 5. Bu 7×8 işleminin ilk rakamı. Alttaki daireler içine yazdığımız rakamları çarptığımızda ise sonucun ikinci rakamına ulaşırız. 3×2=6

 Yazarak anlattığım için uzun gibi gelebilir ancak birkaç deneme yapın ne kadar hızlı olduğunu kavrayacaksınız. Misal; 9×4=? 7×6=?

İki basamaklı sayıları çarpmak

Çarpım tablosunun dışına çıkma vakti Yine hemen bir örnekle başlayalım. 96×97=?

Aynı yöntemi uygulayarak, sayıların altına birer daire çiziyoruz veya bunları hayal ediyoruz. Referans numarası olarak alacağımız sayıyı ise rahatlıkla tahmin edersiniz. Tabii ki 100. Daireler içine 100-97=3 ve 100-96=4 yazıyoruz.

Ardından yine çapraz çıkarma işlemi. 96-3 veya 97-4. Soldan sağa veya sağdan sola, siz seçin. Sonuç 93. Asıl ulaşmak istediğimiz sonucun ilk rakamları.
Daire içindeki rakamları çarptığımızda da sayının geri kalanını elde ediyorduk. Yani 4×3=12. Kısaca 9312.

İsteyenlere bir iki alıştırma; 98×94=? 95×95=?

10’dan büyük sayıları çarpmak

Önceki örneklerimizde hep 10’dan ve 100’den küçük sayıları çarptık. Peki onlardan büyüklerse:

Bu kez, dairelerimizi sayıların altına değil üstüne çizelim. Çapraz çıkarma yerine toplama yapacağız. Örneğimiz 13×14=?
Dediğim gibi bunlar referans numarası olarak aldığımız 10’dan büyük sayılar olduğu için fazlalıkları üstteki dairelere yazıyoruz.

Gördüğünüz üzere 13-10=3 ve 14-10=4. Rakamları yukarı yazdık çünkü bu kez çapraz toplama yapıyoruz. 13+4=17 veya 3+14=17 yine asıl ulaşmak istediğimiz sonucun ilk rakamları. Referans numarası olarak 10 kullandık, bu yüzden bu sayıyı 10’la çarpalım. (bu 10la çarpma işini söylemeye de bilirdim, ekstra işlem gibi görünebilir, ama bu bazı işlemlerde kafanızın karışmaması için gerekli) Sonrası yine aynı, daireler içindeki rakamları birbiriyle çarpacağız. 3×4=12

Şekilde de gördüğünü gibi sonuç 182. 10’la çarpma işlemini yapmazsak, 17 ve 12 değerlerini bulup sonucu 1712 olarak hesap etme hatasını yapabilirsiniz. O yüzden kullandığınız referans sayısına dikkat. İsteyenlere alıştırma verelim yine. 12×21=? 16×15=?

100’den büyük sayıları çarpmak

Aynı metodu kullanıyoruz. Yöntemde bir değişiklik yok. Hemen örneğe geçelim.

Soldaki daire içindeki 100 referans numaramız. İşlemleri yazmama gerek yok diye düşünüyorum, muhtemelen sonucu görebiliyorsunuzdur. Kısaca, 106+4=110 bunu 100le çarp 11000. Sonra 6×4=24. İkisini topla ve 11024.

112×112=? ve 102×125=? de alıştırma olsun.

Metodları mikslemek

Misal yukardaki örneğimizde 6×4’ün sonucunu direkt olarak yazdım. Biri çıkıp diyebilir ki “ben 6×4’ü ezbere bilmiyorum”. Böyle arkadaşlara yapacak bir şey yok demiyoruz Çarpım tablosunu bilmeseniz dahi yöntemleri iç içe karıştırarak çarpma yapabilirsiniz. Şöyle ki:

Size 92×93’ü sorsam ilk yapacağınız şey altlarına 8 ve 7 yazmak olacaktır.

Sonrasında 8×7’nin sonucunu bilmemiz gerekiyor. Bunu bilmiyorum diyorsanız yine aynı şekilde iki rakam daha yazıyoruz. 2 ve 3.

92-7’den 85’i, 100 ile çarparak da 8500’ü buluyoruz. Bu cepte, bir kenara yazalım. Ardından 8-3=5 ve 2×3=6 diyerek de 56 buluyoruz. 8500+56= aradığımız sonuç.

Tüm bunların yanı sıra eğer “ben parmak hesabı bile yapamıyorum” diyenler olursa, onlara yapacak bir şey yok 🙂

Belli bir referans numarasından küçük ve büyük olan iki sayının çarpımı

98×135 diyelim. İkisi de 100’e yakın olduğu için referans numaramız 100 olacak. Sonraki işlemler çok da farklı değil. 98’in altına 2, 135’in üstüne de 35 yazıyoruz. Eksiler alta, artılar üste.

Ardından yine çapraz işlem. 98+35 veya -2+135 = 133 veriyor.
(98 ve 35’i toplarken 35’ten 2 alıp 98’i 100 yapmak ve sonra kalan 33 ile toplamak da pratik bir toplama yöntemidir, yeni gelmişken söylemek istedim.)

Elde ettiğimiz 133’ü referans numaramız olan 100le çarpıyor, yani sağına iki adet 0 koyuyoruz. 13300

 Önceki işlemlerden hatırlarsak, sonraki adım 2 ile 35’i çarpmak. Fakat burada dikkat etmemiz gereken husus, -2 ile +35’i çarpıyor olmamız. Yani sonuç -70 olacak.

 Yanıtı hepimiz biliyoruz, 13230.

 60 veya 40 gibi sayılara yakın olanlarla çarpma

Önceki mesajlarda basit bir yöntemle 10, 100 gibi sayılara yakın olan iki sayıyı birbiriyle çarpmayı anlatmıştım. Peki sayılar 60’a veya 40’a yakınsa ne yapacağız? Eminim ilk bölümü okuyan herkes bu soruyu düşünmüştür. Üşenmeyip denemesini yapanların burayı okumasına gerek bile olmayabilir.

20’yi ele alalım. Herhangi bir sayıyı 20 ile çarpmanızı istesem bu kolay bir işlem olur. Çünkü biliriz ki; 20=10×2. 10 ve 2 ile ayrı ayrı çarparak sonuca ulaşırız.

23×24= işlemini yapalım.
Referans numarası olarak 20’yi alıyoruz. Bu yüzden de fazlalıkları üstteki dairelere yazıyoruz.

Her zamanki gibi çapraz toplama yaparak 27’yi elde ediyoruz. Sonra bunu 20 ile çarpalım. 27×2=54 ve 54×10=540

Devamında yine aynı işlemler. 3×4 = 12 ve 540+12 = 552

Bu yazıyı daha da uzatabilirim ancak mantık hiç değişmeyecek. Referans sayısını 20 de alsanız 50 de alsanız işlemler aynı. Size düşen işinizi en çok kolaylaştıracak olan iki sayıya da yakın bir sayı seçmek. Anlamadığınız bir yer olursa sormaktan çekinmeyin.

Yeni yöntemlerle yazıyı biraz güncelleyelim :}

SONU 5 İLE BİTEN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK

Şimdi anlatacağım teknik iki basamaklı ve 5 ile biten sayıların karelerini aklınızdan çok kısa bir sürede alabilmenizi sağlayacak bir teknik. Mesela 75’i alalım. Öncelikle şunu bilmek gerekir ki, sonu 5 ile biten bu sayıların son iki hanesi 25’dir. Bulunacak sayı xx25 şeklinde olacaktır. İlk iki rakam ise sayımızın onlar basamağındaki rakam (7) ile bunun bir fazlasının (8) çarpımıdır. Yani 7×8=56 ve 75’in karesi 5625. bu tekniği 65, 45, 95… ile de deneyerek tekniğin etkinliğini görebilirsiniz. Sonra da 145 ile deneyim mesela. Bunun için 14×15’in de zihinden yapmanız gerekecek ki yazının ilk bölümlerinde bunu zaten öğrenmiştik 😉

100’E YAKIN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK

Burada da kullanacağımız teknik hiç zor değil. Örnek olarak 94’ü alıyorum. Sayının 100’den farkı 6. Bu sebeple (94 – 6) bulacağımız sayının ilk iki basamağı olacak. Yani 88. son iki rakam ise 6’nın (yani sayımızın 100’e uzaklığının) karesi olan 36. Sonuç olarak 94’ün karesi 8836’dır.

100’e yakın ama 100’den büyük sayıların kareleri alınırken de tek fark olarak çıkarma yerine toplama yapılır. Mesela 106’nın karesi için, (106 + 6) aradığımız sayının ilk üç hanesi olacak. Sonu yine aynı, yani 6’nın karesi 36. 106’nın karesi 112 ve 36 = 11236. Bu tekniği de farklı sayılarla deneyerek işlevselliğini kavrayabilirsiniz.

50’YE YAKIN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK

Her sayı için farklı bir formül çıkıyormuş gibi hissedip sıkılan varsa hemen söyleyeyim, ilk başta anlattığım temel çarpma yöntemini her şekilde uygulayabilirsiniz. Bu son eklediklerim ekstra kısayollar içerdiği için buradalar.

Örnek olarak 47’nin karesini hesaplayalım. Burada referans olarak belirleyeceğimiz 50 ve karesi olan 2500.

47’nin 50’den eksiği 3. 47 üstünde daire içinde bir 3 hayal edebiliriz. 2500 den yani 25’ten bu 3’ü çıkaralım. 22 ki oradan hareketle 2200 ilk sayımız. Şimdi bunu kaçla toplayacağımızı bulacağız. O da 3’ün karesi olan 9. Yani netice 2200 + 9 = 2209

Bir de 50’den büyük bir sayı olsun. 56 diyelim. 50 ile arada 6 fark var. Bu kez tek fark 25 ile toplamak. 25+6=31 yani ilk sayı 3100. 6’nın karesi ise 36. İkisini topla, 3100 + 36 = 3136

Başka örnek yazmıyorum, siz üretirsiniz.

500’E YAKIN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK

50 ile pek de benzer olduğundan ardarda yazmamda fayda var. Aynı işlemler ama fark olarak 500 ve 250000 kullanacağız.

505 falan desek oldukça basit 512 olsun. 12 fazlalık var, 250 ile topluyorum. 262, yani 262000.  Sonra 12’nin karesini ekleyeceğim. O da 144. Sonuç 262144

487 olsa yine aynı. 500’den 13 eksiklik var. 250 – 13 = 237, yani 237000. Buna 13’ün karesiyle toplayalım, netice 237169.

Şu yukardaki 4 kısayolu miksleyebileceğimiz örnekler vereyim:

Karelerini bulun. 625, 545, 385 ve 415

1’LE ve 6 İLE BİTEN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK

Sonu 1 olan sayıların karelerini geleneksel yöntemle alırsanız kendiniz de net bir biçimde bu sistemin nasıl işlediğini göreceksiniz. Hemen örnekle anlatayım.

31’in karesi:

1’i çıkardığımız zaman 30 ve bunun karesini almak kolay. Açtığımız zaman 30 = 3×10 ve 30’un karesi 3x3x10x10 o da = 900 bu bizim ilk toplamımız. Devamında 30 +31 toplamını bu sayıya ekleyeceğiz. Yani 900 + 61 = sonuç 961.

41’le 51’le rahatça deneyin. Aynı şekilde 3 basmaklılar için de geçerli. Misal 241’in karesi fakat burada 240’ın karesini hesaplamanız gerekiyor. Onun için de önceki anlattığım yöntemlerden birini kullanacaksınız.

İlginç gelebilir ancak aynı yöntem 6 ile biten sayılarda da işe yarıyor. Örneğin 76 dersek, 75’in karesini alacağız ve sonra bunu 75+76 ile toplayacağız. 1’le bitenlerle kıyaslayınca biraz daha zor gibi fakat yöntem işe yarıyor.

9’LA ve 4’LE BİTEN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK

Kafadan örnekle başlayalım. 29’un karesi:

30’dan 1 eksik. Yani 30 olsa cevap 900 olacak ki 31’in karesini aldığımız örnekten hatırlıyoruz. (3x3x10x10 şeklinde) 900 bizim ilk toplamımız. Sonrasında 30 ve 29’u toplayıp 59’u elde ediyoruz. 900 – 59 ise 841 aradığımız cevap oluyor.

149 veya 319’un karelerini de aynı şekilde hesaplayabilirsiniz. Sonu 1 ile bitenlerden farklı olarak bu kez çıkarma yapıyoruz.

Bir önceki örnekte 1’le bitenlerle burada 9’la bitenler arasında bağ varsa, 6 ile bitenler ve 4 ile bitenlerle de vardır. Anlatmama gerek yok diye düşünüyorum.

Rasgele uygun sayılar yazıp karelerini kağıt kalem kullanmadan yaparak pratikleştirin. Ne zaman zorlanmamaya başladıysanız, o zaman bu işi kapmışsınız demektir.